На основании данных о красном смещении z = 2 для спектра галактики, оцените расстояние и возраст Вселенной в момент светоприёма света от этой галактики, используя типичную космологическую модель (ΛCDM) и поясните допущения
Коротко — при стандартной плоской ΛCDM-модели (Planck-подобные параметры) для наблюдаемого красного смещения \(z=2\) получаем следующие оценки. Допущения: плоская ΛCDM, \(\;H_0=67.4\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}},\;\Omega_m=0.315,\;\Omega_\Lambda=0.685,\;c=299792.458\ \mathrm{km\,s^{-1}}\). Пренебрегаем вкладом излучения и возможной кривизной; погрешности результатов — на уровне нескольких процентов при малых изменениях параметров. Основные формулы: \[ D_C=c\int_0^z\frac{dz'}{H(z')},\qquad H(z)=H_0\sqrt{\Omega_m(1+z)^3+\Omega_\Lambda}, \] \[ t_L=\int_0^z\frac{dz'}{(1+z')H(z')},\qquad t_{\rm emit}=t_0-t_L. \] Численно (оценка): \[ D_C\approx 5280\ \mathrm{Mpc}=5.28\ \mathrm{Gpc}\approx 1.72\times10^{10}\ \mathrm{ly}\quad\text{(комовная / текущая собственная дистанция)}, \] \[ D_{\rm prop,emit}=\frac{D_C}{1+z}\approx\frac{5.28\ \mathrm{Gpc}}{3}\approx1.76\ \mathrm{Gpc}\approx5.74\times10^{9}\ \mathrm{ly}\quad\text{(собственная дистанция в момент излучения)}. \] Время: \[ t_L\approx 10.4\ \mathrm{Gyr}\quad\text{(время запаздывания света)}, \] \[ t_0\approx 13.8\ \mathrm{Gyr}\quad\Rightarrow\quad t_{\rm emit}=t_0-t_L\approx 3.4\ \mathrm{Gyr}, \] то есть свет был излучён, когда возраст Вселенной составлял примерно \(\;3.4\ \mathrm{Gyr}\). Комментарий по погрешностям: при выборе \(H_0\) и \(\Omega_m\) значения смещаются на несколько процентов; более точные числа можно получить численным интегрированием под выбранные параметры.
Допущения: плоская ΛCDM, \(\;H_0=67.4\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}},\;\Omega_m=0.315,\;\Omega_\Lambda=0.685,\;c=299792.458\ \mathrm{km\,s^{-1}}\). Пренебрегаем вкладом излучения и возможной кривизной; погрешности результатов — на уровне нескольких процентов при малых изменениях параметров.
Основные формулы:
\[
D_C=c\int_0^z\frac{dz'}{H(z')},\qquad H(z)=H_0\sqrt{\Omega_m(1+z)^3+\Omega_\Lambda},
\]
\[
t_L=\int_0^z\frac{dz'}{(1+z')H(z')},\qquad t_{\rm emit}=t_0-t_L.
\]
Численно (оценка):
\[
D_C\approx 5280\ \mathrm{Mpc}=5.28\ \mathrm{Gpc}\approx 1.72\times10^{10}\ \mathrm{ly}\quad\text{(комовная / текущая собственная дистанция)},
\]
\[
D_{\rm prop,emit}=\frac{D_C}{1+z}\approx\frac{5.28\ \mathrm{Gpc}}{3}\approx1.76\ \mathrm{Gpc}\approx5.74\times10^{9}\ \mathrm{ly}\quad\text{(собственная дистанция в момент излучения)}.
\]
Время:
\[
t_L\approx 10.4\ \mathrm{Gyr}\quad\text{(время запаздывания света)},
\]
\[
t_0\approx 13.8\ \mathrm{Gyr}\quad\Rightarrow\quad t_{\rm emit}=t_0-t_L\approx 3.4\ \mathrm{Gyr},
\]
то есть свет был излучён, когда возраст Вселенной составлял примерно \(\;3.4\ \mathrm{Gyr}\).
Комментарий по погрешностям: при выборе \(H_0\) и \(\Omega_m\) значения смещаются на несколько процентов; более точные числа можно получить численным интегрированием под выбранные параметры.