Исследуйте геометрическое место точек в плоскости, для которых разность расстояний до двух данных прямых равна постоянной d, и опишите зависимость от угла между прямыми
Коротко: нужно различать ориентированные (signed) расстояния и обычные (неотрицательные). Описания для обоих случаев. 1) Ориентированные расстояния. Пусть прямые пересекаются в начале координат, первая — ось \(Ox\) (уравнение \(y=0\)), вторая проходит под углом \(\theta\) (нормаль \((-\sin\theta,\cos\theta)\)). Ориентированные перпендикулярные расстояния от точки \((x,y)\) до этих прямых равны \[ s_1=y,\qquad s_2=-x\sin\theta+y\cos\theta. \] Условие \(s_1-s_2=d\) даёт линейное уравнение \[ x\sin\theta+y(1-\cos\theta)=d, \] то есть геометрическое место — прямая (для параллельных прямых аналогично получается прямая). Зависимость от угла: форма всегда прямая, коэффициенты зависят от \(\theta\). 2) Обычные (неотрицательные) расстояния. Пусть \(r_1,r_2\) — перпендикулярные (неотрицательные) расстояния до двух прямых, условие рассматриваем в виде \(|r_1-r_2|=d\) или \(r_1-r_2=d\). Если прямые пересекаются (угол \(\theta\), \(0<\theta<\pi\)), записав в полярных координатах с центром в точке пересечения и углами прямых, получаем \[ r_1=\rho|\sin\phi|,\qquad r_2=\rho|\sin(\phi-\theta)|, \] откуда (при фиксированном знаке разности) \[ \rho=\frac{d}{\,|\sin\phi|-|\sin(\phi-\theta)|\,}. \] После исключения абсолютных значений квадратом получается квадратичная коника — при \(0<\theta<\pi\) это гипербола. Её асимптоты определяются решением \[ |\sin\phi|=|\sin(\phi-\theta)|, \] то есть направлениями биссектрис углов между заданными прямыми. Следовательно: геометрическое место — две ветви гиперболы с асимптотами, совпадающими с биссектрисами угла между прямыми. Особые случаи: - при \(d=0\) получаем объединение биссектрис (т.е. границы, где расстояния равны); - при \(\theta=\pi/2\) гипербола прямоугольная (ветви взаимно перпендикулярны); - при \(\theta\to 0\) ветви «выпрямляются» и предельный случай переходит в конфигурации для почти параллельных прямых. 3) Случай параллельных прямых на расстоянии \(h\). Пусть прямые \(y=0\) и \(y=h\). Тогда \(r_1=|y|\), \(r_2=|y-h|\). Возможные значения разности лежат в интервале \([-h,h]\). Для \(d\) внутри этого интервала решение — ровная линия (или при краевом \(d=\pm h\) — полу-плоскость в зависимости от знака); для \(|d|>h\) уравнение не имеет решений. Итог: для ориентированных расстояний — прямая; для обычных (неотрицательных) расстояний и непараллельных прямых — ветви гиперболы, асимптоты которой — биссектрисы угла между прямыми; для параллельных прямых — вырождение к линиям/полуплоскостям с учётом величины \(d\).
1) Ориентированные расстояния. Пусть прямые пересекаются в начале координат, первая — ось \(Ox\) (уравнение \(y=0\)), вторая проходит под углом \(\theta\) (нормаль \((-\sin\theta,\cos\theta)\)). Ориентированные перпендикулярные расстояния от точки \((x,y)\) до этих прямых равны
\[
s_1=y,\qquad s_2=-x\sin\theta+y\cos\theta.
\]
Условие \(s_1-s_2=d\) даёт линейное уравнение
\[
x\sin\theta+y(1-\cos\theta)=d,
\]
то есть геометрическое место — прямая (для параллельных прямых аналогично получается прямая). Зависимость от угла: форма всегда прямая, коэффициенты зависят от \(\theta\).
2) Обычные (неотрицательные) расстояния. Пусть \(r_1,r_2\) — перпендикулярные (неотрицательные) расстояния до двух прямых, условие рассматриваем в виде \(|r_1-r_2|=d\) или \(r_1-r_2=d\). Если прямые пересекаются (угол \(\theta\), \(0<\theta<\pi\)), записав в полярных координатах с центром в точке пересечения и углами прямых, получаем
\[
r_1=\rho|\sin\phi|,\qquad r_2=\rho|\sin(\phi-\theta)|,
\]
откуда (при фиксированном знаке разности)
\[
\rho=\frac{d}{\,|\sin\phi|-|\sin(\phi-\theta)|\,}.
\]
После исключения абсолютных значений квадратом получается квадратичная коника — при \(0<\theta<\pi\) это гипербола. Её асимптоты определяются решением
\[
|\sin\phi|=|\sin(\phi-\theta)|,
\]
то есть направлениями биссектрис углов между заданными прямыми. Следовательно: геометрическое место — две ветви гиперболы с асимптотами, совпадающими с биссектрисами угла между прямыми. Особые случаи:
- при \(d=0\) получаем объединение биссектрис (т.е. границы, где расстояния равны);
- при \(\theta=\pi/2\) гипербола прямоугольная (ветви взаимно перпендикулярны);
- при \(\theta\to 0\) ветви «выпрямляются» и предельный случай переходит в конфигурации для почти параллельных прямых.
3) Случай параллельных прямых на расстоянии \(h\). Пусть прямые \(y=0\) и \(y=h\). Тогда \(r_1=|y|\), \(r_2=|y-h|\). Возможные значения разности лежат в интервале \([-h,h]\). Для \(d\) внутри этого интервала решение — ровная линия (или при краевом \(d=\pm h\) — полу-плоскость в зависимости от знака); для \(|d|>h\) уравнение не имеет решений.
Итог: для ориентированных расстояний — прямая; для обычных (неотрицательных) расстояний и непараллельных прямых — ветви гиперболы, асимптоты которой — биссектрисы угла между прямыми; для параллельных прямых — вырождение к линиям/полуплоскостям с учётом величины \(d\).