Вопрос #1615643

Кратко — схема решения и анализ для общих и частных случаев.
1) Постановка. Пусть плоскость \(\Pi\), точка \(A\notin\Pi\). Выберем прямоугольную систему координат в плоскости с началом в ортогональной проекции \(O\) точки \(A\); тогда точка плоскости имеет координаты \((x,y)\), а расстояние до \(A\)
\[
d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+h^2},
\]
где \(h=\operatorname{dist}(A,\Pi)>0\). Требуется множество точек на \(\Pi\), для которых
\[
\sqrt{x^2+y^2+h^2}=f(x,y).
\]
Дальше квадратируем (и не забываем про условие знака):
\[
x^2+y^2+h^2=f(x,y)^2,\qquad f(x,y)\ge0.
\]
Именно это уравнение (в пересечении с областью \(f\ge0\)) задаёт искомое геометрическое место.
2) Общие замечания о существовании решений.
- Необходимое условие: существует точка \((x,y)\) с \(f(x,y)\ge h\) (поскольку \(\sqrt{x^2+y^2+h^2}\ge h\) для всех \((x,y)\)). Если \(f(x,y)<h\) всюду — решений нет.
- Квадрированием можно получить посторонние решения с \(f<0\); поэтому любое найденное решение нужно дополнительно проверять условием \(f(x,y)\ge0\).
- В общем случае уравнение может быть алгебраическим кривым повышенной степени (зависит от вида \(f\)).
3) Частные случаи.
a) Константная функция \(f(x,y)=k\ge0\).
\[
x^2+y^2+h^2=k^2\iff x^2+y^2=k^2-h^2.
\]
Следствия: если \(k>h\) — окружность радиуса \(\sqrt{k^2-h^2}\); если \(k=h\) — единственная точка \(O\); если \(k<h\) — решений нет.
b) Линейная функция \(f(x,y)=ax+by+c\). Обозначим вектор \(\mathbf u=(a,b)\), \(\|\mathbf u\|=\sqrt{a^2+b^2}\). Квадрирование даёт квадратичную кривую (коническое сечение):
\[
x^2+y^2+h^2=(ax+by+c)^2.
\]
Это раскладывается в общее уравнение второго порядка. Классификация (учитывая дополнительно условие \(ax+by+c\ge0\)):
- Если \(\|\mathbf u\|<1\), матрица квадратичной части положительно определена \(\Rightarrow\) неразветвлённое эллиптическое уравнение (возможно пустое множество, точка или эллипс).
- Если \(\|\mathbf u\|=1\), квадратичная часть вырождается \(\Rightarrow\) парабола или пара совпадающих/пересекающихся прямых (вырождения).
- Если \(\|\mathbf u\|>1\), квадратичная часть имеет разный знак \(\Rightarrow\) гипербола (или пара прямых).
В любом случае требуется дополнительно пересечение с полуплоскостью \(ax+by+c\ge0\). Конкретные условия на существование зависят от параметров \(a,b,c,h\) (можно исследовать определитель/дискриминант стандартными средствами для коник).
c) Квадратичная функция \(f(x,y)\) (общий квадратичный многочлен). После возведения в квадрат получаем алгебраическое уравнение степени до 4:
\[
x^2+y^2+h^2=(\text{квадратичный многочлен})^2,
\]
то есть общая кривая степени \(\le4\). Анализ конкретных случаев выполняется как решение многочлена степени \(\le4\) в переменных \(x,y\) с проверкой \(f\ge0\). Для радиально симметричных функций \(f=f(r)\) с \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) задача сводится к одному уравнению в \(r\):
\[
\sqrt{r^2+h^2}=f(r)\quad\Longrightarrow\quad r^2+h^2=f(r)^2,
\]
т.е. скалярное уравнение степени, которое легче анализировать (число и тип корней, физический смысл \(r\ge0\), требование \(f(r)\ge0\)).
4) Как действовать на практике.
- Перенести начало в ортогональную проекцию точки \(A\).
- Подставить выбранный \(f\) в уравнение \(\sqrt{x^2+y^2+h^2}=f(x,y)\).
- Возвести в квадрат, получить алгебраическое уравнение; решить/классифицировать его (коника для линейного \(f\), степень \(\le4\) для квадратичного).
- Отсечь точки, где \(f(x,y)<0\) (лишние решения, появившиеся после квадрирования).
- Проверить условие минимальной возможной нормы: необходимое условие на существование — существует \((x,y)\) с \(f(x,y)\ge h\).
Если нужно, могу разобрать конкретный пример (конкретные \(a,b,c\) или конкретная квадратичная функция) и дать явное уравнение и критерии существования решений.