Исследуйте, какие свойства диагоналей выпуклого многоугольника сохраняются при аффинных преобразованиях, и приведите примеры свойств, которые не инвариантны
Кратко — какие свойства диагоналей выпуклого многоугольника сохраняются при аффинных преобразованиях, и какие — нет. Сохраняемые свойства (пояснения и причины): - Диагональ как отрезок между соответствующими вершинами остаётся диагональю (аффинная карта задаёт биекцию вершин). - Коллинеарность точек и совпадение пересечений: если несколько диагоналей пересекались (конкурировали) в одной точке, их образы также пересекутся в одной точке (аффинные отображения сохраняют коллинеарность и инцидентность). - Параллельность: пара параллельных диагоналей (или диагональ — сторона) остаётся параллельной (аффинная карта сохраняет параллельность). - Деление отрезка в отношении: если на диагонали точки делят её в отношении \(t:(1-t)\), то образы делят соответствующую диагональ в том же отношении (на прямой аффинный образ имеет вид \(t\mapsto at+b\), поэтому отношения на прямой сохраняются). В частности, середины сохраняются. - Барицентрические соотношения относительно вершин сохраняются (аффинные комбинации сохраняются). - Отношения площадей любых двух фигур сохраняются, т.к. все площади умножаются на одинаковый множитель \(\det A\) для аффинного отображения \(x\mapsto Ax+b\). Следовательно, свойство «диагональ делит многоугольник на две равные по площади части» инвариантно. - Кросс-отношение четырёх коллинеарных точек сохраняется: для точек \(x_1,x_2,x_3,x_4\) на прямой \[ (x_1,x_2;x_3,x_4)=\frac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_3)} \] остаётся неизменным при замене \(x_i\mapsto ax_i+b\). Неинвариантные свойства (с примерами): - Длины и соотношения длин произвольных диагоналей (если отрезки не лежат на одной прямой): общая длина преобразуется по-разному в разных направлениях, поэтому равенство или отношение длин обычно не сохраняются. Пример: квадрат с вершинами \(A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)\) имеет диагонали равной длины \(\sqrt2\). Под аффинным преобразованием \(T(x,y)=(2x+y,y)\) (матрица \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\)) образы вершин: \(A'=(0,0),B'=(2,0),C'=(3,1),D'=(1,1)\). Тогда длины диагоналей: \(|A'C'|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(|B'D'|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\) — уже не равны. - Углы между диагоналями и перпендикулярность: не сохраняются в общем случае. В том же примере в исходном квадрате диагонали перпендикулярны, а образы имеют векторы \((3,1)\) и \((-1,1)\) с произведением \(-2\neq0\), т.е. не перпендикулярны. - Соотношения длин диагоналей в разных направлениях (например, «одна диагональ в 2 раза длиннее другой») в общем не сохраняются. - Ортогональные или равные углы между диагоналями/сторонами не инвариантны. - Любые свойства, зависящие от евклидовой метрики (длины, углы, ортогональность, круги как множества точек на равноудалении) в общем не сохраняются. Короткие выводы: - Инвариантны всякие аффинно-геометрические свойства: коллинеарность, параллельность, отношения деления на одной прямой, инцидентности, соотношения площадей, барицентрические соотношения, кросс-отношения на прямой. - Неинвариантны метрические (евклидовые) свойства: длины, углы, перпендикулярность, равенство длин диагоналей и т.п.
Сохраняемые свойства (пояснения и причины):
- Диагональ как отрезок между соответствующими вершинами остаётся диагональю (аффинная карта задаёт биекцию вершин).
- Коллинеарность точек и совпадение пересечений: если несколько диагоналей пересекались (конкурировали) в одной точке, их образы также пересекутся в одной точке (аффинные отображения сохраняют коллинеарность и инцидентность).
- Параллельность: пара параллельных диагоналей (или диагональ — сторона) остаётся параллельной (аффинная карта сохраняет параллельность).
- Деление отрезка в отношении: если на диагонали точки делят её в отношении \(t:(1-t)\), то образы делят соответствующую диагональ в том же отношении (на прямой аффинный образ имеет вид \(t\mapsto at+b\), поэтому отношения на прямой сохраняются). В частности, середины сохраняются.
- Барицентрические соотношения относительно вершин сохраняются (аффинные комбинации сохраняются).
- Отношения площадей любых двух фигур сохраняются, т.к. все площади умножаются на одинаковый множитель \(\det A\) для аффинного отображения \(x\mapsto Ax+b\). Следовательно, свойство «диагональ делит многоугольник на две равные по площади части» инвариантно.
- Кросс-отношение четырёх коллинеарных точек сохраняется: для точек \(x_1,x_2,x_3,x_4\) на прямой
\[
(x_1,x_2;x_3,x_4)=\frac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_3)}
\]
остаётся неизменным при замене \(x_i\mapsto ax_i+b\).
Неинвариантные свойства (с примерами):
- Длины и соотношения длин произвольных диагоналей (если отрезки не лежат на одной прямой): общая длина преобразуется по-разному в разных направлениях, поэтому равенство или отношение длин обычно не сохраняются. Пример: квадрат с вершинами \(A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)\) имеет диагонали равной длины \(\sqrt2\). Под аффинным преобразованием \(T(x,y)=(2x+y,y)\) (матрица \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\)) образы вершин: \(A'=(0,0),B'=(2,0),C'=(3,1),D'=(1,1)\). Тогда длины диагоналей: \(|A'C'|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(|B'D'|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\) — уже не равны.
- Углы между диагоналями и перпендикулярность: не сохраняются в общем случае. В том же примере в исходном квадрате диагонали перпендикулярны, а образы имеют векторы \((3,1)\) и \((-1,1)\) с произведением \(-2\neq0\), т.е. не перпендикулярны.
- Соотношения длин диагоналей в разных направлениях (например, «одна диагональ в 2 раза длиннее другой») в общем не сохраняются.
- Ортогональные или равные углы между диагоналями/сторонами не инвариантны.
- Любые свойства, зависящие от евклидовой метрики (длины, углы, ортогональность, круги как множества точек на равноудалении) в общем не сохраняются.
Короткие выводы:
- Инвариантны всякие аффинно-геометрические свойства: коллинеарность, параллельность, отношения деления на одной прямой, инцидентности, соотношения площадей, барицентрические соотношения, кросс-отношения на прямой.
- Неинвариантны метрические (евклидовые) свойства: длины, углы, перпендикулярность, равенство длин диагоналей и т.п.