Дан параллелепипед с известными длинами трёх ребер, исходящей из одной вершины, и углами между ними; найдите объём и опишите, как изменение одного угла влияет на объём при фиксированных длинах
Обозначим длины рёбер из одной вершины \(A=|\mathbf a|,\;B=|\mathbf b|,\;C=|\mathbf c|\). Пусть углы между векторами: \(\alpha\) — между \(\mathbf b\) и \(\mathbf c\), \(\beta\) — между \(\mathbf a\) и \(\mathbf c\), \(\gamma\) — между \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\). Тогда объём параллелепипеда даётся скалярным тройным произведением и равен через детерминант матрицы Грама: \[ V=|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|=ABC\sqrt{\,1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma\,}. \] Влияние изменения одного угла (например, \(\alpha\)) при фиксированных \(A,B,C,\beta,\gamma\) описывается частной производной: \[ \frac{\partial V}{\partial\alpha} =\frac{ABC\,\sin\alpha\;(\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma)} {\sqrt{\,1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma\,}}. \] Следствия и интерпретация: - Для \(0<\alpha\cos\beta\cos\gamma\), и уменьшается иначе. - Максимум при фиксанных длинах достигается при попарно перпендикулярных рёбрах (\(\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=0\)), тогда \(V_{\max}=ABC\). - Объём равен нулю, когда векторы компланарны, т.е. аргумент корня равен нулю: \[ 1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma=0. \]
\[
V=|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|=ABC\sqrt{\,1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma\,}.
\]
Влияние изменения одного угла (например, \(\alpha\)) при фиксированных \(A,B,C,\beta,\gamma\) описывается частной производной:
\[
\frac{\partial V}{\partial\alpha}
=\frac{ABC\,\sin\alpha\;(\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma)}
{\sqrt{\,1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma\,}}.
\]
Следствия и интерпретация:
- Для \(0<\alpha\cos\beta\cos\gamma\), и уменьшается иначе.
- Максимум при фиксанных длинах достигается при попарно перпендикулярных рёбрах (\(\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=0\)), тогда \(V_{\max}=ABC\).
- Объём равен нулю, когда векторы компланарны, т.е. аргумент корня равен нулю:
\[
1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma=0.
\]