Исследуйте задачу: для какой функции f(x) преобразование координат (x,y) → (x, y + f(x)) сохраняет угол между произвольными двух прямыми; что это говорит о формах допустимых топографических искажений
Пусть отображение задано как \(X=x,\; Y=y+f(x)\). Якобиан равен \[ J=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt] f'(x)&1\end{pmatrix}. \] Условие сохранения углов (локальная конформность) требует, чтобы \(J\) был скаляром, умножающим ортогональную матрицу, эквивалентно \[ J^T J=\lambda^2 I. \] Вычислим \[ J^T J=\begin{pmatrix}1+f'(x)^2 & f'(x)\\[4pt] f'(x) & 1\end{pmatrix}. \] Отсюда внедиагональный элемент должен равняться нулю, значит \(f'(x)=0\). Следовательно \(f\) — константа, и тогда отображение — чистый сдвиг по \(y\), который действительно сохраняет все углы. Дополнительные замечания: - В точках, где \(f'(x_0)=0\), отображение локально конформно в этой вертикальной полосе (вокруг точек с данным \(x_0\)), но при невырожденном \(f'\) в целом углы меняются. - В рамках заданной формы преобразования единственными глобально допустимыми топографическими искажениями, сохраняющими углы между любыми прямыми, являются вертикальные сдвиги \(f=\) const. (Более общие конформные отображения плоскости — повороты, однородные масштабы и их комбинации — не имеют вид \( (x,y)\mapsto (x,y+f(x))\) при ненулевой изменчивости \(f\).)
\[
J=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt] f'(x)&1\end{pmatrix}.
\]
Условие сохранения углов (локальная конформность) требует, чтобы \(J\) был скаляром, умножающим ортогональную матрицу, эквивалентно
\[
J^T J=\lambda^2 I.
\]
Вычислим
\[
J^T J=\begin{pmatrix}1+f'(x)^2 & f'(x)\\[4pt] f'(x) & 1\end{pmatrix}.
\]
Отсюда внедиагональный элемент должен равняться нулю, значит \(f'(x)=0\). Следовательно \(f\) — константа, и тогда отображение — чистый сдвиг по \(y\), который действительно сохраняет все углы.
Дополнительные замечания:
- В точках, где \(f'(x_0)=0\), отображение локально конформно в этой вертикальной полосе (вокруг точек с данным \(x_0\)), но при невырожденном \(f'\) в целом углы меняются.
- В рамках заданной формы преобразования единственными глобально допустимыми топографическими искажениями, сохраняющими углы между любыми прямыми, являются вертикальные сдвиги \(f=\) const. (Более общие конформные отображения плоскости — повороты, однородные масштабы и их комбинации — не имеют вид \( (x,y)\mapsto (x,y+f(x))\) при ненулевой изменчивости \(f\).)