В какой степени можно обобщить теорему Фалеса для пространственных сечений пирамид и усечённых пирамид — сформулируйте и докажите соответствующие утверждения
Формулировки и доказательства (сжатo). 1) Основная теорема (сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию). Пусть пирамида с вершиной \(S\) и основанием многоугольник \(A_1A_2\ldots A_n\) лежит в плоскости \(\Pi\). Пусть плоскость \(\Pi'\), параллельная \(\Pi\), пересекает ребра \(SA_i\) в точках \(A_i'\). Тогда: - многоугольники \(A_1'A_2'\ldots A_n'\) и \(A_1A_2\ldots A_n\) подобны; - для всех \(i\) отношение длин соответствующих отрезков на боковых рёбрах одинаково: \[ \frac{SA_i'}{SA_i}=\lambda=\frac{h'}{h}, \] где \(h\) и \(h'\) — расстояния от \(S\) до плоскостей \(\Pi\) и \(\Pi'\) соответственно; - площади оснований связаны как \[ B'=\lambda^2 B; \] объёмы как \[ V'=\lambda^3 V. \] Доказательство. Рассмотрим произвольные вершины \(A_i,A_j\). Так как \(\Pi'\parallel\Pi\), отрезок \(A_i'A_j'\) параллелен \(A_iA_j\), поэтому в треугольнике \(SA_iA_j\) линия, проводимая через точку на боковом ребре и параллельная основанию, даёт подобные треугольники \(SA_i'A_j'\) и \(SA_iA_j\). Отсюда \(\frac{SA_i'}{SA_i}=\frac{SA_j'}{SA_j}=\lambda\) независимо от выбора ребра, а значит все стороны сечённого многоугольника пропорциональны соответствующим сторонам основания — получаем подобие. Поскольку линейный масштаб равен \(\lambda\), площади масштабируются как \(\lambda^2\), а объёмы подобных тел — как \(\lambda^3\) (или прямым подстановкой формулы объёма пирамиды \(V=\tfrac13 Bh\): \(V'=\tfrac13 B'h'=\tfrac13(\lambda^2B)(\lambda h)=\lambda^3V\)). 2) Обратное утверждение. Пусть плоскость пересекает боковые ребра пирамиды \(SA_i\) в точках \(A_i'\) так, что \[ \frac{SA_1'}{SA_1}=\frac{SA_2'}{SA_2}=\cdots=\frac{SA_n'}{SA_n}=\lambda \] (одна и та же константа). Тогда точки \(A_i'\) лежат в плоскости, параллельной основанию \(A_1\ldots A_n\). Доказательство. Для любых пар вершин \(A_i,A_j\) из равенства отношений следует, что соответствующие отрезки на боковых рёбрах делятся в одинаковом отношении, значит в треугольнике \(SA_iA_j\) точки \(A_i',A_j'\) лежат на линиях, образующих с основанием подобные треугольники, откуда \(A_i'A_j'\parallel A_iA_j\). Такого рода параллелизмы для всех пар вершин означают, что все точки \(A_i'\) лежат в одной плоскости, параллельной \(\Pi\). 3) Сечения и объём усечённой пирамиды (усечённая пирамида, фруструм). Пусть две параллельные плоскости \(\Pi_1\) и \(\Pi_2\) пересекают пирамиду и дают основания двух подобныx многоугольников с площадями \(B_1\) (нижнее) и \(B_2\) (верхнее). Пусть расстояние между плоскостями равно \(h\). Тогда объём усечённой пирамиды равен \[ V_{fr}=\frac{h}{3}\bigl(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\bigr). \] Короткое доказательство. Обозначим \(k=\sqrt{\dfrac{B_2}{B_1}}\) — линейный масштаб верхнего сечения относительно нижнего. Пусть высоты от вершины до нижнего и верхнего сечений равны \(H_1\) и \(H_2=kH_1\), причём \(h=H_1-H_2=H_1(1-k)\). Объём усечённой пирамиды — разность объёмов большого и малого пирамид: \[ V_{fr}=\frac{1}{3}B_1H_1-\frac{1}{3}B_2H_2=\frac{1}{3}B_1H_1(1-k^3). \] Подставляя \(H_1=\dfrac{h}{1-k}\) и раскладывая \(1-k^3=(1-k)(1+k+k^2)\), получаем \[ V_{fr}=\frac{h}{3}B_1(1+k+k^2)=\frac{h}{3}\bigl(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\bigr). \] Замечания и обобщения: - Все утверждения остаются верными для конусов и круговых сечений (специальный случай пирамиды). - Теорема Фалеса в плоскости (о параллельных прямых, делящих стороны треугольника пропорционально) является двухмерным частным случаем приведённых трёхмерных утверждений: параллельная плоскость даёт систему параллельных отрезков на формах основания, что даёт пропорции и подобие.
1) Основная теорема (сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию).
Пусть пирамида с вершиной \(S\) и основанием многоугольник \(A_1A_2\ldots A_n\) лежит в плоскости \(\Pi\). Пусть плоскость \(\Pi'\), параллельная \(\Pi\), пересекает ребра \(SA_i\) в точках \(A_i'\). Тогда:
- многоугольники \(A_1'A_2'\ldots A_n'\) и \(A_1A_2\ldots A_n\) подобны;
- для всех \(i\) отношение длин соответствующих отрезков на боковых рёбрах одинаково:
\[
\frac{SA_i'}{SA_i}=\lambda=\frac{h'}{h},
\]
где \(h\) и \(h'\) — расстояния от \(S\) до плоскостей \(\Pi\) и \(\Pi'\) соответственно;
- площади оснований связаны как
\[
B'=\lambda^2 B;
\]
объёмы как
\[
V'=\lambda^3 V.
\]
Доказательство. Рассмотрим произвольные вершины \(A_i,A_j\). Так как \(\Pi'\parallel\Pi\), отрезок \(A_i'A_j'\) параллелен \(A_iA_j\), поэтому в треугольнике \(SA_iA_j\) линия, проводимая через точку на боковом ребре и параллельная основанию, даёт подобные треугольники \(SA_i'A_j'\) и \(SA_iA_j\). Отсюда \(\frac{SA_i'}{SA_i}=\frac{SA_j'}{SA_j}=\lambda\) независимо от выбора ребра, а значит все стороны сечённого многоугольника пропорциональны соответствующим сторонам основания — получаем подобие. Поскольку линейный масштаб равен \(\lambda\), площади масштабируются как \(\lambda^2\), а объёмы подобных тел — как \(\lambda^3\) (или прямым подстановкой формулы объёма пирамиды \(V=\tfrac13 Bh\): \(V'=\tfrac13 B'h'=\tfrac13(\lambda^2B)(\lambda h)=\lambda^3V\)).
2) Обратное утверждение.
Пусть плоскость пересекает боковые ребра пирамиды \(SA_i\) в точках \(A_i'\) так, что
\[
\frac{SA_1'}{SA_1}=\frac{SA_2'}{SA_2}=\cdots=\frac{SA_n'}{SA_n}=\lambda
\]
(одна и та же константа). Тогда точки \(A_i'\) лежат в плоскости, параллельной основанию \(A_1\ldots A_n\).
Доказательство. Для любых пар вершин \(A_i,A_j\) из равенства отношений следует, что соответствующие отрезки на боковых рёбрах делятся в одинаковом отношении, значит в треугольнике \(SA_iA_j\) точки \(A_i',A_j'\) лежат на линиях, образующих с основанием подобные треугольники, откуда \(A_i'A_j'\parallel A_iA_j\). Такого рода параллелизмы для всех пар вершин означают, что все точки \(A_i'\) лежат в одной плоскости, параллельной \(\Pi\).
3) Сечения и объём усечённой пирамиды (усечённая пирамида, фруструм).
Пусть две параллельные плоскости \(\Pi_1\) и \(\Pi_2\) пересекают пирамиду и дают основания двух подобныx многоугольников с площадями \(B_1\) (нижнее) и \(B_2\) (верхнее). Пусть расстояние между плоскостями равно \(h\). Тогда объём усечённой пирамиды равен
\[
V_{fr}=\frac{h}{3}\bigl(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\bigr).
\]
Короткое доказательство. Обозначим \(k=\sqrt{\dfrac{B_2}{B_1}}\) — линейный масштаб верхнего сечения относительно нижнего. Пусть высоты от вершины до нижнего и верхнего сечений равны \(H_1\) и \(H_2=kH_1\), причём \(h=H_1-H_2=H_1(1-k)\). Объём усечённой пирамиды — разность объёмов большого и малого пирамид:
\[
V_{fr}=\frac{1}{3}B_1H_1-\frac{1}{3}B_2H_2=\frac{1}{3}B_1H_1(1-k^3).
\]
Подставляя \(H_1=\dfrac{h}{1-k}\) и раскладывая \(1-k^3=(1-k)(1+k+k^2)\), получаем
\[
V_{fr}=\frac{h}{3}B_1(1+k+k^2)=\frac{h}{3}\bigl(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\bigr).
\]
Замечания и обобщения:
- Все утверждения остаются верными для конусов и круговых сечений (специальный случай пирамиды).
- Теорема Фалеса в плоскости (о параллельных прямых, делящих стороны треугольника пропорционально) является двухмерным частным случаем приведённых трёхмерных утверждений: параллельная плоскость даёт систему параллельных отрезков на формах основания, что даёт пропорции и подобие.