Дан правильный многоугольник с большим числом сторон; исследуйте асимптотику отношения площади вписанной и описанной окружностей при стремлении числа сторон к бесконечности
Для правильного \(n\)-угольника с описанным радиусом \(R\) и вписанным радиусом \(r\) имеем \(r=R\cos\!\big(\pi/n\big)\). Значит отношение площадей вписанной и описанной окружностей равно \[ \frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\cos^2\!\big(\pi/n\big). \] При \(n\to\infty\) положим \(x=\pi/n\ll1\) и разложим: \[ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)\quad\Rightarrow\quad \cos^2 x=1-x^2+\frac{x^4}{3}+O(x^6). \] Следовательно \[ \frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}=1-\frac{\pi^2}{n^2}+\frac{\pi^4}{3n^4}+O(n^{-6}), \] и в частности \[ 1-\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}\sim\frac{\pi^2}{n^2}. \]
\[
\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\cos^2\!\big(\pi/n\big).
\]
При \(n\to\infty\) положим \(x=\pi/n\ll1\) и разложим:
\[
\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)\quad\Rightarrow\quad
\cos^2 x=1-x^2+\frac{x^4}{3}+O(x^6).
\]
Следовательно
\[
\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}=1-\frac{\pi^2}{n^2}+\frac{\pi^4}{3n^4}+O(n^{-6}),
\]
и в частности
\[
1-\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}\sim\frac{\pi^2}{n^2}.
\]