Для данной окружности и точки P вне её постройте все вписанные в окружность треугольники, у которых P — центр описанной окружности, и исследуйте число решений и их свойства
Кратко: нет решений, если \(P\) не совпадает с центром данной окружности; если же \(P\) совпадает с центром окружности, то решений бесконечно много (любая тройка точек на окружности даёт треугольник с этим центром). Пояснение. Пусть дана окружность с центром \(O\). Любой треугольник \(ABC\), вершины которого лежат на этой окружности, имеет ту же описанную окружность, следовательно его центр описанной окружности равен \(O\). То есть для любого вписанного треугольника его центр описанной окружности совпадает с \(O\). Следовательно условие «\(P\) — центр описанной окружности вписанного в данную окружность треугольника» требует \(P=O\). Если \(P\neq O\) (в частности если \(P\) — точка вне окружности), таких треугольников не существует. Если \(P=O\), то любое треугольник с вершинами на данной окружности — решение (множество решений бесконечно).
Пояснение. Пусть дана окружность с центром \(O\). Любой треугольник \(ABC\), вершины которого лежат на этой окружности, имеет ту же описанную окружность, следовательно его центр описанной окружности равен \(O\). То есть для любого вписанного треугольника его центр описанной окружности совпадает с \(O\).
Следовательно условие «\(P\) — центр описанной окружности вписанного в данную окружность треугольника» требует \(P=O\). Если \(P\neq O\) (в частности если \(P\) — точка вне окружности), таких треугольников не существует. Если \(P=O\), то любое треугольник с вершинами на данной окружности — решение (множество решений бесконечно).