Исследуйте условия, при которых композиция двух параллельных переносов и одного поворота в плоскости эквивалентна повороту вокруг другой точки; приведите аналитическое и геометрическое объяснение
Короткий ответ: композиция двух параллельных переносов и одного поворота является поворотом вокруг некоторой другой точки тогда и только тогда, когда угол поворота \(\theta\) не равен \(0\) по модулю \(2\pi\). Если \(\theta\equiv 0\pmod{2\pi}\), композиция — чистый перенос (сумма переносов). Аналитическое объяснение. - Обозначим переносы векторами \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\) (они параллельны, поэтому их сумма \(\mathbf u=\mathbf a+\mathbf b\) лежит на одной прямой). Пусть задан поворот на угол \(\theta\) вокруг точки \(O\). Поворот задаётся как \[ R_\theta^O(x)=O+R_\theta(x-O), \] где \(R_\theta\) — матрица вращения вокруг начала координат. Тогда композиция (сначала поворот, затем оба переноса или эквивалентно сначала суммарный перенос, затем поворот — порядок переносов не важен) даёт отображение \[ F(x)=O+R_\theta(x-O)+\mathbf u. \] Переписав в виде аффинного преобразования относительно начала координат, \[ F(x)=R_\theta x+\mathbf t,\qquad \mathbf t=\mathbf u+O-R_\theta O. \] Чтобы \(F\) был поворотом вокруг некоторой точки \(P\), нужна фиксированная точка \(P\) (центр поворота): \(F(P)=P\). Это даёт векторное уравнение \[ (I-R_\theta)P=\mathbf t. \] Матрица \(I-R_\theta\) невырождена тогда и только тогда, когда \(\theta\not\equiv 0\pmod{2\pi}\) (детерминант \(=2-2\cos\theta=4\sin^2(\theta/2)\)). Следовательно при \(\theta\not\equiv0\) единственное решение \[ P=(I-R_\theta)^{-1}\mathbf t. \] Подставляя \(\mathbf t=\mathbf u+O-R_\theta O\) получают более удобную форму \[ P=O+(I-R_\theta)^{-1}\mathbf u. \] Явная форма для \((I-R_\theta)^{-1}\) (если \(\mathbf u=(u_x,u_y)\) и положим \(a=1-\cos\theta,\; b=\sin\theta,\; D=a^2+b^2=2-2\cos\theta\)) : \[ (I-R_\theta)^{-1}=\frac{1}{D}\begin{pmatrix}a&-b\\ b& a\end{pmatrix}, \] откуда координаты центра можно выписать явно. Если \(\theta\equiv0\pmod{2\pi}\), то \(I-R_\theta=0\) и уравнение несовместно, а композиция равна переносу на \(\mathbf u\). Геометрическое объяснение (конструкция центра). - Сумма двух параллельных переносов — один перенос на вектор \(\mathbf u\). - Требуется найти точку \(P\), которая при повороте на \(\theta\) смещается ровно на \(-\mathbf u\) в отношении исходного центра: \(R_\theta^O(P)+\mathbf u=P\). Геометрически это означает: в результирующем отображении образ точки \(P\) совпадает с собой, значит \(P\) — фиксированная точка композиции. - Построение: возьмите две разные точки \(X_1,X_2\). Для каждой постройте их образы \(X_i' = R_\theta^O(X_i)+\mathbf u\). Для каждой пары отрезок \(X_iX_i'\) имеет середину, и перпендикулярная биссектриса этого отрезка проходит через искомый центр \(P\). Пересечение двух таких биссектрис даёт единственную точку \(P\) (при \(\theta\not\equiv0\)), что подтверждает, что композиция — поворот вокруг \(P\). Если \(\theta\equiv0\), все отрезки \(X_iX_i'\) параллельны и биссектрисы не пересекаются — это случай чистого переноса. Вывод: для любого ненулевого по модулю \(2\pi\) угла поворота композиция (двух параллельных) переносов и поворота всегда эквивалентна повороту вокруг единственной точки, координаты которой задаются \(P=O+(I-R_\theta)^{-1}\mathbf u\).
Аналитическое объяснение.
- Обозначим переносы векторами \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\) (они параллельны, поэтому их сумма \(\mathbf u=\mathbf a+\mathbf b\) лежит на одной прямой). Пусть задан поворот на угол \(\theta\) вокруг точки \(O\). Поворот задаётся как
\[
R_\theta^O(x)=O+R_\theta(x-O),
\]
где \(R_\theta\) — матрица вращения вокруг начала координат. Тогда композиция (сначала поворот, затем оба переноса или эквивалентно сначала суммарный перенос, затем поворот — порядок переносов не важен) даёт отображение
\[
F(x)=O+R_\theta(x-O)+\mathbf u.
\]
Переписав в виде аффинного преобразования относительно начала координат,
\[
F(x)=R_\theta x+\mathbf t,\qquad \mathbf t=\mathbf u+O-R_\theta O.
\]
Чтобы \(F\) был поворотом вокруг некоторой точки \(P\), нужна фиксированная точка \(P\) (центр поворота): \(F(P)=P\). Это даёт векторное уравнение
\[
(I-R_\theta)P=\mathbf t.
\]
Матрица \(I-R_\theta\) невырождена тогда и только тогда, когда \(\theta\not\equiv 0\pmod{2\pi}\) (детерминант \(=2-2\cos\theta=4\sin^2(\theta/2)\)). Следовательно при \(\theta\not\equiv0\) единственное решение
\[
P=(I-R_\theta)^{-1}\mathbf t.
\]
Подставляя \(\mathbf t=\mathbf u+O-R_\theta O\) получают более удобную форму
\[
P=O+(I-R_\theta)^{-1}\mathbf u.
\]
Явная форма для \((I-R_\theta)^{-1}\) (если \(\mathbf u=(u_x,u_y)\) и положим \(a=1-\cos\theta,\; b=\sin\theta,\; D=a^2+b^2=2-2\cos\theta\)) :
\[
(I-R_\theta)^{-1}=\frac{1}{D}\begin{pmatrix}a&-b\\ b& a\end{pmatrix},
\]
откуда координаты центра можно выписать явно.
Если \(\theta\equiv0\pmod{2\pi}\), то \(I-R_\theta=0\) и уравнение несовместно, а композиция равна переносу на \(\mathbf u\).
Геометрическое объяснение (конструкция центра).
- Сумма двух параллельных переносов — один перенос на вектор \(\mathbf u\).
- Требуется найти точку \(P\), которая при повороте на \(\theta\) смещается ровно на \(-\mathbf u\) в отношении исходного центра: \(R_\theta^O(P)+\mathbf u=P\). Геометрически это означает: в результирующем отображении образ точки \(P\) совпадает с собой, значит \(P\) — фиксированная точка композиции.
- Построение: возьмите две разные точки \(X_1,X_2\). Для каждой постройте их образы \(X_i' = R_\theta^O(X_i)+\mathbf u\). Для каждой пары отрезок \(X_iX_i'\) имеет середину, и перпендикулярная биссектриса этого отрезка проходит через искомый центр \(P\). Пересечение двух таких биссектрис даёт единственную точку \(P\) (при \(\theta\not\equiv0\)), что подтверждает, что композиция — поворот вокруг \(P\). Если \(\theta\equiv0\), все отрезки \(X_iX_i'\) параллельны и биссектрисы не пересекаются — это случай чистого переноса.
Вывод: для любого ненулевого по модулю \(2\pi\) угла поворота композиция (двух параллельных) переносов и поворота всегда эквивалентна повороту вокруг единственной точки, координаты которой задаются \(P=O+(I-R_\theta)^{-1}\mathbf u\).