Вопрос #1615827
IV. Геометрический диктант
Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Найдите вектор, начало и конец которого являются вершинами ; vec AB + vec A 1 D 1 + vec CA 1 параллелепипеда, равный сумме векторов [ vec CA1 + vec AD + vec D1C1 ]
Найдите вектор, равный vec AD - vec C1D1 - vec BB1 ;[ vec AB - vec AA1 - vec C1B1 ]
Представьте вектор BC1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор vec BD1 ; [вектор D1B ].
Упростите выражение: MN - PQ - NM + PT + RQ + TR ; [ vec LP + vec MS + vec EN - vec MN - vec PL + vec ST ]
Упростите выражение: 3(vec a + vec b)-4(2vec a - vec b)+ vec a ; [ vec m +3(2 vec m - vec n ) - 2 ( vec m - vec n ).]
\[
\vec{AB}+\vec{A_1D_1}+\vec{CA_1}=\vec b+\vec d+( \vec h-\vec b-\vec d)=\vec h=\vec{AA_1}.
\]
Начало — \(A\), конец — \(A_1\). (Аналогично для \(\vec{CA_1}+\vec{AD}+\vec{D_1C_1}\) даёт тоже \(\vec{AA_1}\).)
2) Для первого варианта
\[
\vec{AD}-\vec{C_1D_1}-\vec{BB_1}=\vec d-(-\vec b)-\vec h=\vec b+\vec d-\vec h=\vec{A_1C},
\]
то есть вектор от \(A_1\) к \(C\). То же получается для \(\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{C_1B_1}\).
3) Например
\[
\vec{BC_1}=\vec{BD_1}-\vec{BA}
\]
(или эквивалентно \(\vec{BC_1}=\vec{AB}-\vec{D_1B}\)). (Легко проверить в координатах.)
4) Упрощения:
\[
\vec{MN}-\vec{PQ}-\vec{NM}+\vec{PT}+\vec{RQ}+\vec{TR}=2\vec{MN},
\]
потому что \(\vec{MN}-\vec{NM}=2\vec{MN}\) и \(\vec{RQ}-\vec{PQ}+\vec{PT}+\vec{TR}=0\).
Для второго набора:
\[
\vec{LP}+\vec{MS}+\vec{EN}-\vec{MN}-\vec{PL}+\vec{ST}=2\vec{LP}+ \vec{ET}.
\]
5) Алгебра векторов:
\[
3(\vec a+\vec b)-4(2\vec a-\vec b)+\vec a=-4\vec a+7\vec b,
\]
\[
\vec m+3(2\vec m-\vec n)-2(\vec m-\vec n)=5\vec m-\vec n.
\]